Question

某市物價局調(diào)查了某種治療H1N1流感的常規(guī)藥品在2009年每個月的批發(fā)價格和該藥品在藥店的銷售價格，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該藥品的批發(fā)價格按月份以12元/盒為中心價隨某一正弦曲線上下波動，且3月份的批發(fā)價格最高為14元/盒，7月份的批發(fā)價格最低為10元/盒．該藥品在藥店的銷售價格按月份以14元/盒為中心價隨另一正弦曲線上下波動，且5月份的銷售價格最高為16元/盒，9月份的銷售價格最低為12元/盒．
（Ⅰ）求該藥品每盒的批發(fā)價格f（x）和銷售價格g（x）關(guān)于月份x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）假設(shè)某藥店每月初都購進(jìn)這種藥品p盒，且當(dāng)月售完，求該藥店在2009年哪些月份是盈利的？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁），根據(jù)價格最高和最低可求得振幅A₁，根據(jù)月份求得周期，進(jìn)而可求得ω，把x=3代入函數(shù)式求得φ，則函數(shù)f（x）的解析式可得，同樣的道理可求得該藥品每件的銷售價格函數(shù)解析式．
（2）設(shè)該藥店第x月購進(jìn)這種藥品p盒所獲利潤為y元，則根據(jù)y=p[g（x）-f（x）]把（1）中求得f（x）和g（x）代入整理，根據(jù)y＞0，求得x的范圍，進(jìn)而根據(jù)x∈N^*，推斷x的值．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=A₁sin（ω₁x+φ₁）+b₁，由已知，b₁=12，A₁=

14-10

2

=2．
又周期T₁=2（7-3）=8，則ω=

2π

T

=

π

4

，從而f（x）=2sin（

π

4

x+φ₁）+12
因為f（3）=14，則2sin（

3π

4

+φ₁）+12=14，即sin（

3π

4

+φ₁）=1，可取φ₁=-

π

4

故該商品每件的批發(fā)價函數(shù)解析式為f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+12
同理，該藥品每件的銷售價格函數(shù)解析式為g（x）=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14．
（2）設(shè)該藥店第x月購進(jìn)這種藥品p盒所獲利潤為y元，則
y=p[g（x）-f（x）]=p[2sin（

π

4

x-

3π

4

）+14-2sin（

π

4

x-

π

4

）-12=2p（1-

2

sin

π

4

x）
由y＞0，得1-

2

sin

π

4

x＞0，即sin

π

4

x＜

2

2

，所以2kπ+

3π

4

＜

π

4

x＜2kπ+

9π

4

，k∈Z．
即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z
∵x≤12且x∈N^*，則x=4，5，6，7，8，12．
故該藥店在2009年4月，5月，6月，7月，8月，12月是盈利的．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用．涉及了函數(shù)的周期性問題．綜合性很強．