Question

已知橢圓C：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的上頂點為B（0，b），橢圓C上到點B的距離最大的點恰為下頂點（0，-b），則橢圓C的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點P（x，y）是橢圓上的任意一點，利用兩點間的距離公式可得：|PA|²=x²+（y-b）²=1-

y2

b2

+（y-b）²=

c2

b2

（y-

b3

c2

）²+

1

c2

=f（y），由于橢圓上的點P到點A（0，b）距離最遠的點是B（0，-b），利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，可得-

b3

c2

≤-b，即可得出離心率的取值范圍．

解答： 解：設(shè)點P（x，y）是橢圓上的任意一點，
則x²+

y2

b2

=1，化為x²=1-

y2

b2

．
∴|PA|²=x²+（y-b）²=1-

y2

b2

+（y-b）²=

c2

b2

（y-

b3

c2

）²+

1

c2

=f（y）
∵橢圓上的點P到點A（0，b）距離最遠的點是B（0，-b），
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，
∴-

b3

c2

≤-b，
化為c²≤b²=a²-c²，即2c²≤a²，
∴e≤

2

2

．
又e＞0．
∴離心率的取值范圍是（0，

2

2

]．
故答案為：（0，

2

2

]．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．