【題目】設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,對(duì)任意都有成立(其中是常數(shù)).

1)當(dāng)時(shí),求

2)當(dāng)時(shí),

①若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式:

②設(shè)數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是數(shù)列,如果,試問:是否存在數(shù)列數(shù)列,使得對(duì)任意,都有,且,若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值構(gòu)成的集合;若不存在.說明理由.

【答案】12)①②存在,首項(xiàng)所有取值構(gòu)成的集合為

【解析】

1)當(dāng)時(shí),得到,進(jìn)而得到,兩式作差,得到數(shù)列為等比數(shù)列,即可求解

2)①時(shí),,進(jìn)而得到,兩式作差,得到數(shù)列為等差數(shù)列,即可求解

②確定數(shù)列的通項(xiàng),利用是“數(shù)列”,得到是偶數(shù),從而可得,再利用條件,驗(yàn)證,即可求解數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值

1)由題意,當(dāng)時(shí),得到,

代替,可得,

兩式相減,可得,即,即,

,可得,解答

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列,

所以

2)①當(dāng)時(shí),

代替,可得

兩式相減可得,

代替,可得,

兩式相減,可得,即

,所以數(shù)列為等差數(shù)列,

因?yàn)?/span>,可得,

又由,解得

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為

②由①知數(shù)列是等差數(shù)列,因?yàn)?/span>,所以

又由是“封閉數(shù)列”,可得:

對(duì)任意,必存在,使得,

解得,所以為偶數(shù),

又由已知,可得,所以,

i)當(dāng)時(shí),

對(duì)于任意,都有,

ii)當(dāng)時(shí),,則,

,

,則,不合題意;

當(dāng)時(shí),,則,

,符合題意;

當(dāng)時(shí),,則,

所以,

又由,

所以,

所以首項(xiàng)所有取值構(gòu)成的集合為

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