Question

11．設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{|x-1|≤2}\\{\frac{x+3}{2-x}≥0}\end{array}\right.$．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍
（2）若￢q是￢p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解不等式化簡(jiǎn)命題p和q，若p∧q為真，則p真且q真，即可得出；
（2）將條件“￢q是￢p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”，再利用集合思想得到命題p和q所對(duì)應(yīng)集合的關(guān)系，從而求出a的范圍．

解答 解：對(duì)于命題p：x²-4ax+3a²＜0，即（x-a）（x-3a）＜0，故a＜x＜3a；
對(duì)于命題q：$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x-1≤2}\\{（x+3）（x-2）≤0}\\{2-x≠0}\end{array}\right.，得-1≤x＜2$．
（1）若a=1，則命題p：1＜x＜3
∵p∧q為真，∴p真q真．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{-1≤x＜2}\end{array}\right.，得1＜x＜2$，
即實(shí)數(shù)x的取值范圍為（1，2）；
（2）若┐q是┐p的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件，
故（a，3a）?[-1，2）
又∵a＞0，∴3a≤2，得a≤$\frac{2}{3}$
故a的取值范圍為（0，$\frac{2}{3}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查真值表和充分條件和必要條件的應(yīng)用，條件“￢q是￢p的充分不必要條件”轉(zhuǎn)化為“p是q的充分不必要條件”是解決本題的關(guān)鍵，注意要熟練掌握不等式的解法．