Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a₄-a₁=3d，從而可求d，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（2）由b_n=

1

n(12-an)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），由裂項(xiàng)相消法，可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵a₁=8，a₄=2，
∴a₄-a₁=3d=-6，
∴d=-2
a_n=a₁+（n-1）d=8-2（n-1）=10-2n，（n∈N^*），
（2）∵b_n=

1

n(12-an)

=

1

n[12-(10-2n)]

=

1

2

•

1

n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

2

）+

1

2

（

1

2

-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

4

）+…+

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）
=

1

2

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1-

1

n+1

）
=

n

2n+2

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，（1）的關(guān)鍵是求出數(shù)列的公差，（2）的關(guān)鍵是對數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式的裂項(xiàng)．