Question

在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為前n項和．
（1）若a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=20，求S₂₀；
（2）若S₁=1，S₈=4，求a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值；
（3）若已知首項a₁=13，且S₃=S₁₁，問此數(shù)列前多少項的和最大？

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=2（a₁+a₂₀）=20，得a₁+a₂₀=10，由此能求出S₂₀．
（2）由S₁=1，S₈=4，求出a1=1，d=-

1

7

，利用a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀=S₂₀-S₁₆，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式能求出結(jié)果．
（3）由a₁=13，且S₃=S₁₁，利用等差數(shù)列前n項和公式求出d=-2，由此能求出n=7時，S_n取最大值S₇=49．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₉+a₁₂+a₂₀=2（a₁+a₂₀）=20，
∴a₁+a₂₀=10，
∴S₂₀=

20

2

(a1+a20)=10×10=100．
（2）∵等差數(shù)列{a_n}中，S₁=1，S₈=4，
∴

a1=1 8a1+ 56 2 d=4

，解得a1=1，d=-

1

7

，
∴a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀=S₂₀-S₁₆=[20+

20×19

2

×(-

1

7

)]-[16+

16×15

2

×(-

1

7

)]=-6．
（3）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=13，且S₃=S₁₁，
∴3×13+

3×2

2

d=11×13+

11×10

2

d，
解得d=-2，
∴S_n=13n+

n(n-1)

2

×(-2)=14n-n²=-（n-7）²+49．
∴n=7時，S_n取最大值S₇=49．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．