解:(Ⅰ)
,
,
∴直線l
1的斜率
,直線l
2的斜率
,
令k
1=k
2,得
,此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,∴不論t取何實(shí)數(shù)值,直線l
1與l
2恒相交.
(Ⅱ)直線l
1的方程為:y=f(t)+g(t)(x-t),…①
直線l
2的方程為:y=g(t)+f(t)(x-t),…②
由①、②得:(g(t)-f(t))(x-t-1)=0.
∵
,∴x-t=1,又∵直線AB方程為x=t,直線AB垂直x軸,∴點(diǎn)P到直線AB的距離為1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可求得P(t+1,2e
t),
①∵
,
,
∴
,
∵t<0,e
2t<1,∴
,
又∵
,
∴cos∠B>0,∠B恒為銳角.
②∵
,
,
∴
,
∴不論t取何值,∠A恒為銳角.
③∵
,
,∴
.
令
,得(e
2t)
2+e
2t-1>0,
,
,
.
又∵
,∴cos∠P>0,∠P為銳角.
令
,得
,
,
此時(shí),cos∠P=0,∠P為直角;
令
,得(e
2t)
2+e
2t-1<0,
,
,
,此時(shí),cos∠P<0,∠P為鈍角.
綜合①②③得:當(dāng)
時(shí),△PAB為鈍角三角形;
當(dāng)
時(shí),△PAB為直角三角形;
當(dāng)
時(shí),△PAB為銳角三角形.
分析:(Ⅰ)求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即得切線的斜率,令這兩條切線的斜率相等,此方程無(wú)解,故這兩條切線的斜率一定不相等,得到直線l
1與l
2恒相交.
(Ⅱ)用點(diǎn)斜式求得直線l
1和直線l
2的方程,求得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)滿足x-t=1,又直線AB方程為x=t,直線AB垂直x軸,
故點(diǎn)P到直線AB的距離為 1.
(Ⅲ)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、數(shù)量積公式可得∠B恒為銳角,且∠A恒為銳角,令
分別小于0、等于
0、小于0,求出對(duì)應(yīng)的t值,即得所求.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,點(diǎn)到直線的距離公式,兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,數(shù)量積公式,三角形形狀的判定,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想.