Question

如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v（v＞0），雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c（c∈R）．E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與|v-c|×S成正比，比例系數(shù)為

1

10

；（2）其它面的淋雨量之和，其值為

1

2

，記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=

3

2

時(shí)．
（Ⅰ）寫出y的表達(dá)式
（Ⅱ）設(shè)0＜v≤10，0＜c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少．

Answer 1

分析：（Ⅰ）E移動(dòng)時(shí)的總淋雨量應(yīng)該等于單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量乘以所用的時(shí)間，可先求出單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量的式子，再乘以時(shí)間

100

v

即可；
（Ⅱ）根據(jù)絕對值的性質(zhì)，將（Ⅰ）中的函數(shù)分解為分段函數(shù)的形式，再由c的不同取值范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，在不同的情況下，單調(diào)區(qū)間不同，總淋雨量最小值對應(yīng)的v值也不同．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為

3

20

|v-c|+

1

2

，故
                      y=

100

v

(

3

20

|v-c|+

1

2

) =

5

v

(3|v-c|+10)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
當(dāng)0＜v≤c時(shí)，y=

5

v

(3c-3v+10)=

5(3c+10)

v

-15
當(dāng)c≤v≤10時(shí)，y=

5

v

(3v-3c+10)=

5(-3c+10)

v

+15
故  y=

5(3c+10) v -15       0＜v≤c 5(10-3c) v +15       c＜v≤10

 
（1）當(dāng)0＜c≤

10

3

時(shí)，y是關(guān)于v的減函數(shù)，故當(dāng)v=10時(shí)，ymin=20-

3c

2

；
（2）當(dāng)

10

3

＜c≤5時(shí)，在（0，c]上y是關(guān)于v的減函數(shù)，
在（c，10]上，y是關(guān)于v的增函數(shù)，
故當(dāng)v=c時(shí)，ymin=

50

c

答：（Ⅰ）函數(shù)y的表達(dá)式為y=

100

v

(

3

20

|v-c|+

1

2

) =

5

v

(3|v-c|+10)
（Ⅱ）（1）在0＜c≤

10

3

的情況下，當(dāng)v=10時(shí)，總淋雨量y最少；
     （2）在

10

3

＜c≤5的情況下，當(dāng)v=c時(shí)，總淋雨量y最少．

點(diǎn)評：本題著重考查函數(shù)應(yīng)用能力，所建立的函數(shù)式為含有絕對值的式子．解決問題的關(guān)鍵一是要能根據(jù)v的范圍將式子化簡為分段函數(shù)，二是要將常數(shù)c進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出不同情形下的最小值點(diǎn)．