Question

如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v（v＞0），物體E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：
①P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，設(shè)其值與|v-4|×S成正比，比例系數(shù)為

1

10

；
②其它面的淋雨量之和，其值為

1

2

，記y為物體E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=

3

2

時(shí)．
（Ⅰ）寫出y的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)0＜v≤10，試確定移動(dòng)速度v，使總淋雨量y最少．

Answer 1

分析：（Ⅰ）E移動(dòng)時(shí)的總淋雨量應(yīng)該等于單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量乘以所用的時(shí)間，可先求出單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量的式子，再乘以時(shí)間

100

v

即可；
（Ⅱ）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將（Ⅰ）中的函數(shù)分解為分段函數(shù)的形式，再由v的不同取值范圍討論函數(shù)的單調(diào)性，在不同的情況下，單調(diào)區(qū)間不同，總淋雨量最小值對(duì)應(yīng)的v值也不同．

解答：解：（I）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為

3

20

|v-4|+

1

2

，…（3分）
故y=

100

v

(

3

20

|v-4|+

1

2

)=

5

v

(3|v-4|+10)．…（6分）
（II）由（I）知，當(dāng)0＜v≤4時(shí)，y=

5

v

(22-3v)=

110

v

-15
當(dāng)4＜v≤10時(shí)，y=

5

v

(3v-2)=-

10

v

+15
故y=

110 v -15，  0＜v≤4 - 10 v +15， 4＜v≤10

．…（10分）
在（0，4]上，y是關(guān)于v的減函數(shù)；在（4，10]上，y是關(guān)于v的增函數(shù)；  …（12分）
則當(dāng)v=4時(shí)，ymin=

25

2

．
故移動(dòng)速度v=4時(shí)，使總淋雨量y最少．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查函數(shù)應(yīng)用能力，所建立的函數(shù)式為含有絕對(duì)值的式子．解決問題的關(guān)鍵一是要能根據(jù)v的范圍將式子化簡為分段函數(shù)，二是要將常數(shù)v進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出不同情形下的最小值點(diǎn)．