Question

已知向量，，．
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若△ABC是直角三角形，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）若∠ABC是銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：=（3，1），=（-1-m，-m），=（2-m，1-m）
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，則3（-m）-（-1-m）=0，即-3m+1+m=0，∴m=
（2）設(shè)AB⊥BC，根據(jù)x₁x₂+y₁y₂=0可得，3（-1-m）+（-m）=0，即-4m-3=0，解得m=-
設(shè)BC⊥CA，可得（-1-m）（2-m）+（-m）（1-m）=0，解得m=或m=-
設(shè)BA⊥AC，可得3（2-m）+（1-m）=0，即7-4m=0，解得m=；
（3）若∠ABC是銳角，則-3（-1-m）+m＞0，且m≠，
解得m＞-且m≠．
分析：求得=（3，1），=（-1-m，-m），=（2-m，1-m）
（1）利用向量共線的充要條件，可得3（-m）-（-1-m）=0，從而可得結(jié)論；
（2）分類討論，利用向量垂直的充要條件，可得3（-1-m）+（-m）=0，即可得到結(jié)論；
（3）利用數(shù)量積大于0，及不共線，可得-3（-1-m）+m＞0，且m≠，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算，考查向量共線、垂直的充要條件，屬于中檔題．