Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)，若∠CMN=90°，則異面直線AD₁與DM所成的角為

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   45°
4. D.
   90°

Answer 1

D
分析：由已知中長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)，若∠CMN=90°，我們易證得CM⊥AD₁，CD⊥AD₁，由線面垂直的判定定理可得：AD₁⊥平面CDM，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得得AD₁⊥DM，即可得到異面直線AD₁與DM所成的角．
解答：如下圖所示：

∵M(jìn)、N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AD₁，
∵∠CMN=90°，
∴CM⊥MN，
∴CM⊥AD₁，
由長(zhǎng)方體的幾何特征，我們可得CD⊥AD₁，
∴AD₁⊥平面CDM
故AD₁⊥DM
即異面直線AD₁與DM所成的角為90°
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，其中根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，將問題轉(zhuǎn)化為線線垂直的判定是解答本題的關(guān)鍵．