Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）的圖象為曲線．

（Ⅰ）求曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）若曲線上存在兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（Ⅲ）試問：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），則，

即曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的取值范圍是；------------3分

（Ⅱ）由（1）可知，---------------------------------------------------------5分

解得或，由或

得：；-------------------------------7分

（Ⅲ）設(shè)存在過點(diǎn)A的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B，

，

則切線方程是：，

化簡(jiǎn)得：，

而過B的切線方程是，

由于兩切線是同一直線，

則有：，得，----------------------11分

又由，

即

，即

即，

得，但當(dāng)時(shí)，由得，這與矛盾。

所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn).     ---------------14分

考點(diǎn)：本試題考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于切線方程的求解主要抓住兩點(diǎn)：第一是切點(diǎn)，第二就是切點(diǎn)出的切線的斜率。然后結(jié)合點(diǎn)斜式方程來得到。以及利用函數(shù)的思想求解斜率的范圍，或者確定方程的解即為切線的條數(shù)問題。