【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線.
(1)過曲線的左頂點作的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;
(2)設(shè)斜率為的直線交曲線于、兩點,若與圓相切,求證:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出雙曲線的左頂點的坐標(biāo)和漸近線方程,求出過曲線的左頂點作的漸近線的平行線方程,求出直線與直線的交點坐標(biāo),進而可求得由這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;
(2)設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,由直線與圓相切得出,再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立,列出韋達定理,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算和韋達定理,計算出,由此能證明出.
(1)左頂點,漸近線方程為,
過點與漸近線平行的直線方程為,即.
解方程組,得,
因此,所求平行四邊形的面積;
(2)設(shè)直線的方程為,設(shè)點、,
因直線與圓相切,故,即.
由,得.
由韋達定理得,,
,
因此,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】2019年元旦班級聯(lián)歡晚會上,某班在聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸球表演節(jié)目的游戲,在一個紙盒中裝有1個紅球,1個黃球,1個白球和1個黑球,這些球除顏色外完全相同,A同學(xué)不放回地每次摸出1個球,若摸到黑球則停止摸球,否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個節(jié)目,摸到白球或黃球表演一個節(jié)目,摸到黑球不用表演節(jié)目.
(1)求A同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率;
(2)記X為A同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個數(shù),求隨機變量X的分布列.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,求證;
(3)設(shè),對于任意時,總存在,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,公比為q(q≠1).令A(yù)=.A={1,2},
(1)當(dāng),求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),q>0,試比較與(n≥3)的大?并證明你的結(jié)論.
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【題目】等腰直角三角形ABO內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,則△ABO的面積是( )
A.8p2B.4p2
C.2p2D.p2
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【題目】已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若時,函數(shù)在處的切線經(jīng)過點,求的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,求的取值范圍.
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【題目】順義區(qū)教委對本區(qū)高一,高二年級學(xué)生體質(zhì)健康測試成績進行抽樣分析.學(xué)生測試成績滿分為100分,90分及以上為優(yōu)秀,60分以下為不及格.先從兩個年級各抽取100名學(xué)生的測試成績.其中高一年級學(xué)生測試成績統(tǒng)計結(jié)果如圖1,高二年級學(xué)生測試成績統(tǒng)計結(jié)果如表1.
分組 | 人數(shù) |
表1
(1)求圖1中a的值;
(2)為了調(diào)查測試成績不及格的同學(xué)的具體情況,決定從樣本中不及格的學(xué)生中抽取3人,用X表示抽取的3人中高二年級的學(xué)生人數(shù).求X的分布列及均值;
(3)若用以上抽樣數(shù)據(jù)估計全區(qū)學(xué)生體質(zhì)健康情況.用Y表示從全區(qū)高二年級全部學(xué)生中任取3人中成績優(yōu)秀的人數(shù),求EY的值;
(4)用,,分別表示樣本中高一,高二年級學(xué)生測試成績的方差,比較其大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)果).
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【題目】王明、李東、張紅三位同學(xué)在第一、第二學(xué)期消費的部分文具的數(shù)量如表所示:
姓名 | 第一學(xué)期 | 第二學(xué)期 | ||||||
筆記本 | 練習(xí)本 | 水筆 | 鉛筆 | 筆記本 | 練習(xí)本 | 水筆 | 鉛筆 | |
王明 | 3 | 5 | 2 | 4 | 4 | 6 | 3 | 3 |
李東 | 2 | 6 | 3 | 3 | 4 | 8 | 5 | 2 |
張紅 | 4 | 7 | 4 | 2 | 5 | 10 | 6 | 4 |
若筆記本的單價為每本5元;練習(xí)本每本2元;水筆每支3元;鉛筆每支1元.求三位學(xué)生在這些文具上各自花費的金額.
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