Question

在2014年11月4日宜賓市舉辦的四川省第十四屆少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)的餐飲點(diǎn)上，某種茶飲料一天的銷售量與該天的日平均氣溫（單位：℃）有關(guān)，若日平均氣溫不超過15℃，則日銷售量為100瓶；若日平均氣溫超過15℃但不超過20℃，則日銷售量為150 瓶；若日平均氣溫超過20℃，則日銷售量為200瓶．據(jù)宜賓市氣象部門預(yù)測(cè)，該地區(qū)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間每一天日平均氣溫不超過15℃，超過15℃但不超過20℃，超過20℃這三種情況發(fā)生的概率分別為P₁，P₂，P₃，又知P₁，P₂為方程5x²-3x+a=0的兩根，且P₂=P₃．
（Ⅰ）求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）記ξ表示該茶飲料在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間任意兩天的銷售量總和（單位：瓶），求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用P₁，P₂為方程5x²-3x+a=0的兩根，P₁+P₂+P₃=1，P₂=P₃，即可求P₁，P₂，P₃的值；
（Ⅱ）確定ξ的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）由已知P₁，P₂為方程5x²-3x+a=0的兩根，
∴得

P1+P2+P3=1 P1+P2= 3 5 P2=P3

，
解得：P1=

1

5

，P2=

2

5

，P3=

2

5

．
（II）ξ的可能取值為200，250，300，350，400
P(ξ=200)=

1

5

×

1

5

，
P(ξ=250)=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P(ξ=300)=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P(ξ=350)=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P(ξ=400)=

2

5

×

2

5

=

4

25

隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	200	250	300	350	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

∴所求的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=200×

1

25

+250×

4

25

+300×

8

25

+350×

8

25

+400×

4

25

=320(瓶)

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的性質(zhì)，考查概率的計(jì)算，考查分布列及數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．