【題目】某地要建造一個邊長為2(單位:)的正方形市民休閑公園,將其中的區(qū)域開挖成一個池塘,如圖建立平面直角坐標系后,點的坐標為,曲線是函數(shù)圖像的一部分,過邊上一點在區(qū)域內(nèi)作一次函數(shù))的圖像,與線段交于點(點不與點重合),且線段與曲線有且只有一個公共點,四邊形為綠化風景區(qū).

1)求證:;

2)設點的橫坐標為,

①用表示、兩點的坐標;

②將四邊形的面積表示成關(guān)于的函數(shù),并求的最大值.

【答案】1)見解析(2)①M,0),N,2)②S=4﹣(t),其中0<t<1,S的最大值是4

【解析】

1)根據(jù)函數(shù)yax2過點D,求出解析式y2x2;

消去y,利用0證明結(jié)論成立;

2)①寫出點P的坐標(t,2t2),代入直線MN的方程,用t表示出直線方程,

利用直線方程求出MN的坐標;

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)St),

利用基本不等式即可求出S的最大值.

1)函數(shù)yax2過點D1,2),

代入計算得a2,

y2x2;

,消去y2x2kxb0

由線段MN與曲線OD有且只有一個公共點P,

=(﹣k24×2×b0,

解得b;

2)設點P的橫坐標為t,則0t1,

∴點Pt,2t2);

①直線MN的方程為ykx+b,

ykx過點P

kt2t2,

解得k4t

y4tx2t2

y0,解得x,∴M0);

y2,解得x,∴N,2);

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為

SSt)=2×22×[]4﹣(t),其中0t1;

t2,當且僅當t,即t成立,

所以S≤4;即S的最大值是4

練習冊系列答案
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