Question

已知函數(shù)y=sin²x+2sinxcosx+3cos²（π+x）．
（1）求該函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時，求該函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式先利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍，求出（1）化簡后函數(shù)解析式中角度的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得出函數(shù)的值域，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值及最小值．

解答：解：（1）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2…（4分）
∵ω=2，
∴函數(shù)的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得 …（6分）
函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)…（8分）
（2）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，…（9分）
由（1）及三角函數(shù)的性質(zhì)可知y_max=3，ymin=2-

2

．…（13分）

點(diǎn)評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，周期公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．