【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1 , D,E分別是棱BC,CC1上的點(點D 不同于點C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點.求證:

(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直線A1F∥平面ADE.

【答案】
(1)解:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,

∴CC1⊥平面ABC,

∵AD平面ABC,

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1內的相交直線

∴AD⊥平面BCC1B1,

∵AD平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1


(2)解:∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點

∴A1F⊥B1C1

∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F平面A1B1C1,

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內的相交直線

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1,

∴A1F∥AD

∵A1F平面ADE,AD平面ADE,

∴直線A1F∥平面ADE


【解析】(1)根據三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,得到CC1⊥平面ABC,從而AD⊥CC1 , 結合已知條件AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1內的相交直線,得到AD⊥平面BCC1B1 , 從而平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)先證出等腰三角形△A1B1C1中,A1F⊥B1C1 , 再用類似(1)的方法,證出A1F⊥平面BCC1B1 , 結合AD⊥平面BCC1B1 , 得到A1F∥AD,最后根據線面平行的判定定理,得到直線A1F∥平面ADE.

練習冊系列答案
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