Question

如果一條直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=

1

x+1

相切于點(diǎn)P，那么切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，2）
• B、（-

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• C、（-2，-1）
• D、（2，

  1

  3

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)和原點(diǎn)求出切線的斜率，同時(shí)由f（x）求出其導(dǎo)函數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

1

a+1

），
由切線過(guò)（0，0），得到切線的斜率k=

1

a(a+1)

，
又y=

1

x+1

，∴y′=-

1

(x+1)2

把x=a代入得：斜率k=-

1

(a+1)2

，
∴

1

a(a+1)

=-

1

(a+1)2

，
∴a=-

1

2

，
∴

1

a+1

=2，
∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

1

2

，2）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道基礎(chǔ)題，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力．