Question

如圖，已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，直線
交橢圓于不同的兩點(diǎn)．

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使△是以為直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）見解析

試題分析：（1）設(shè)出橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，由離心率的值及橢圓過點(diǎn)（4，1）求出待定系數(shù)，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線方程代入橢圓的方程，由判別式大于0，求出m的范圍即可；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足題意，再利用△ABM為直角三角形，結(jié)合向量垂直的條件求出m，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
試題解析：解：（1）依題意，解得，    2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．      3分
（2）由得，           4分
直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
            6分
解得                          7分
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則由為直角得，        8分
設(shè)，，由（2）得，    9分
，   10分
，             11分

             12分
得   13分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042645841677.png" style="vertical-align:middle;" />，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)使△為直角三角形．    14分