Question

將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b．設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi．
（1）求事件“z-3i為實(shí)數(shù)”的概率；
（2）求事件“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9”的概率．

Answer 1

分析：由題意可得（a，b）的所有結(jié)果共有36種，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)
（1）若z-3i為實(shí)數(shù)，則a+bi-3i=a+（b-3）i為實(shí)數(shù)，b=3．依題意a可取1，2，3，4，5，6，從而可得符合條件的（a，b）的個(gè)數(shù)，代入概率的計(jì)算公式可求
（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9，考慮到b的值只能取1，2，3，分別代入b的值，可求對(duì)應(yīng)的a，找出所有符合條件的（a，b）的個(gè)數(shù)，代入概率的計(jì)算公式可求

解答：解：（1）z-3i為實(shí)數(shù)，即a+bi-3i=a+（b-3）i為實(shí)數(shù)，
∴b=3．依題意a可取1，2，3，4，5，6，
故出現(xiàn)b=3的概率為p₁=

6

36

=

1

6

，
即事件“z-3i為實(shí)數(shù)”的概率為

1

6

．
（2）由條件可知，b的值只能取1，2，3．
當(dāng)b=1時(shí)，（a-2）²≤8，即a可取1，2，3，4，
當(dāng)b=2時(shí)，（a-2）²≤5，即a可取1，2，3，4，
當(dāng)b=3時(shí)，（a-2）²≤0，即a可取2．
∴共有9種情況下可使事件發(fā)生，又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點(diǎn)（a，b）滿足（a-2）²+b²≤9”的概率為
p₂=

4

36

+

4

36

+

1

36

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題以古典概率的計(jì)算為載體，綜合考查了分步計(jì)數(shù)原理，復(fù)數(shù)的概念，不等式的知識(shí)，等可能事件的概率計(jì)算，但考查的都是基本概念、基本方法