Question

設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b．求上述方程有實(shí)根的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：記事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根”．由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根?a≥b．
（1）基本事件共6×6=36個(gè)，其中事件A包含21個(gè)基本事件，由此能求出方程有實(shí)根的概率．
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面積為S=3×2=6，又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，其面積為S′=3×2-

1

2

×22=4，由此能求出方程有實(shí)根的概率．

解答：解：記事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根”．
由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²
所以，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x²+2ax+b²=0有實(shí)根?a≥b（2分）
（1）基本事件共6×6=36個(gè)，
其中事件A包含21個(gè)基本事件：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
所以P(A)=

21

36

=

7

12

（6分）
（2）全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其面積為S=3×2=6．
又構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，
其面積為S′=3×2-

1

2

×22=4，
所以 P(A)=

4

6

=

2

3

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概率及其運(yùn)算公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．