Question

（本小題滿分14分）對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數(shù)有且僅有兩個不動點、，且

 

。

 

（1）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知各項均為負的數(shù)列滿足，求證：；

 

（3）設，為數(shù)列的前項和，求證：。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）設

 

     ∴     ∴

 

由

 

又∵    ∴     ∴    …… 3分 

 

于是

 

由得或；   由得或

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)減區(qū)間為和                       ……4分

（2）由已知可得，     當時，

兩式相減得

∴或

當時，，若，則這與矛盾

∴     ∴                       ……6分

于是，待證不等式即為。為此，我們考慮證明不等式

 

令則，

 

再令，     由知

 

∴當時，單調(diào)遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

 

令，    由知

 

∴當時，單調(diào)遞增    ∴   于是

 

即　　　　 ②

 

由①、②可知                  ……10分

 

所以，，即         ……11分

 

（3）由（2）可知   則

 

在中令n=1,2,3…………..2010并將各式相加得

 

 

即    

【解析】略