Question

是否存在一個(gè)等比數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①a₁+a₆=11且a₃a₄=

32

9

；②a_n+1＞a_n（n∈N^*）；③至少存在一個(gè)m（m∈N^*且m＞4），使得

2

3

a_m-1，a_m²，a_m+1+

4

9

依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：假設(shè)存在等比數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足三個(gè)條件，由①②結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得a₁、a₆的值，從而求出等比數(shù)列的公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合

2

3

a_m-1，a_m²，a_m+1+

4

9

成等差數(shù)列求出m的值為3，與m＞4矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤．

解答： 解：假設(shè)存在等比數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足三個(gè)條件，
由①可得

a1+a6=11 a1a6= 32 9

，
由②可知數(shù)列{a_n}是遞增的，則a₆＞a₁，
解上面方程組得

a1= 1 3 a6= 32 3

，
設(shè)等比數(shù)列的公比q，則q5=

a6

a1

=32，q=2．
此時(shí)an=

1

3

×2n-1．
由③可知2am2=

2

3

am-1+(am+1+

4

9

)
?2(

1

3

×2m-1)2=

2

3

×

1

3

×2m-2+(

1

3

×2m+

4

9

)．
解得m=3，與已知m＞4矛盾．
故這樣的數(shù)列{a_n}不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得求法，屬中檔題．