Question

對任意函數(shù)f(x),x∈Ｄ，可按下圖所示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：

①輸入數(shù)據(jù)x₀∈Ｄ，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x₁＝f(x₀）；

②若x₁Ｄ，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂＝f(x₁），并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義f(x)=.

（1）若輸入x₀＝，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列｛x_n｝,請寫出數(shù)列｛x_n｝的所有項；

(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x₀的值；

(3)(理)若輸入x₀時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列｛x_n｝滿足：對任意正整數(shù)n，均有x_n＜x_n+1，求x₀的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵f(x)的定義域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),

∴數(shù)列{x_n}只有三項，

x₁=,x₂=,x₃=-1.

(2)∵f(x)==x,

即x²-3x+2=0,

∴x=1或x=2,

即x₀=1或2時,

x_n+1==x_n.

故當(dāng)x₀=1時,x_n=1;

當(dāng)x₀=2時,x_n=2(n∈N).

(3)解不等式x＜,得

x＜-1或1＜x＜2.

要使x₁＜x₂,則x₁＜-1或1＜x₁＜2.

對于函數(shù)f(x)=,若x₁＜-1,則x₂=f(x₁)＞4,x₃=f(x₂)＜x₂;

當(dāng)1＜x₁＜2時,x₂=f(x₁)＞x₁且1＜x₂＜2.

依次類推可得數(shù)列{x_n}的所有項均滿足x_n+1＞x_n(n∈N).

綜上所述,x₁∈(1,2),

由x₁=f(x₀),得x₀∈(1,2).