Question

已知函數(shù)（），且.
（Ⅰ）試用含有的式子表示，并求的極值；
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)（其中），使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“伴隨切線”. 特別地，當(dāng)時(shí)，又稱存在“中值伴隨切線”. 試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”，若存在，求出、的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），
當(dāng)時(shí)，的極大值為
（Ⅱ）在函數(shù)上不存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”.理由略

（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154618865410.gif" style="vertical-align:middle;" />，
，，.          ……………2分
代入，得.
當(dāng)時(shí)，，由，得，
又，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，由，得，……………4分
又，，即在上單調(diào)遞減.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.                  
所以，當(dāng)時(shí)，的極大值為  ………………6分
（Ⅱ）在函數(shù)的圖象上不存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”.
假設(shè)存在兩點(diǎn)，，不妨設(shè)，則
，，

，
在函數(shù)圖象處的切線斜率
，
由
化簡(jiǎn)得：，.
令，則，上式化為：，即，
若令，
，
由，，在在上單調(diào)遞增，.
這表明在內(nèi)不存在，使得=2.
綜上所述，在函數(shù)上不存在兩點(diǎn)、使得它存在“中值伴隨切線”.…………13分