【題目】已知動圓經(jīng)過定點,且與定直線相切.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)已知點,過點作直線與交于,兩點,過點作軸的垂線分別與直線,交于點,(為原點),求證:為線段中點.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)根據(jù)拋物線的定義,可得圓心的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,從而得出方程;
(2)設(shè),,設(shè)直線斜率為,則直線方程為,與拋物線聯(lián)立得出,且,寫出韋達定理,,再通過直線的交點分別求出和,從而求出,結(jié)合韋達定理,化簡得,即可證出:為線段中點.
解:(1)由題意知,動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等,
由拋物線定義知,
動圓圓心的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,
其中,
即動圓圓心的軌跡方程為:.
(2)設(shè),,顯然直線斜率存在且不為0,設(shè)為,
則直線方程為,
將與拋物線方程:聯(lián)立,
得,,,,
又,聯(lián)立得,
同理可得,
則
,
即,
所以為線段中點.
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【題目】雙曲線 的左、右焦點分別為,過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線的右支分別交于兩點,若點平分線段,則該雙曲線的離心率是( )
A. B. C. 2 D.
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【題目】變量X與Y相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則
A. r2<r1<0 B. r2<0<r1 C. 0<r2<r1 D. r2=r1
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線的交點為、,求的值.
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【題目】我國著名數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”( 注:如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù),則稱這個整數(shù)為素數(shù)),在不超過的素數(shù)中,隨機選取個不同的素數(shù)、,則的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】煉鋼是一個氧化降碳的過程,由于鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短,因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關(guān)系.現(xiàn)已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量與冶煉時間(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一組數(shù)據(jù),如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 | |
100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 | |
10400 | 36000 | 39900 | 32745 | 22785 | 18090 | 25500 | 39155 | 47940 | 15125 |
(1)據(jù)統(tǒng)計表明,與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明( ,則認為與有較強的線性相關(guān)關(guān)系,否則認為沒有較強的線性相關(guān)關(guān)系,精確到0.001);
(2)建立關(guān)于的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01);
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論,預測鋼水含碳量為160個0.01%的冶煉時間.
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,
,相關(guān)系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,
.
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【題目】設(shè)點,分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為0.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點,是直線上的兩點,且,,求四邊形面積的最大值.
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