Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2bx，g（x）=|x-1|，若對任意x₁，x₂∈[0，2]，當(dāng)x₁＜x₂時都有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），則實數(shù)b的最小值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先需理解題意當(dāng)x₁＜x₂時都有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂），構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²+2bx-|x-1|，對h（x）進行分類討論即可．

解答 解：當(dāng)x₁＜x₂ 時都有f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）
即：當(dāng)x₁＜x₂ 時都有f（x₁）-g（x₁）＜f（x₂）-g（x₂），
令：h（x）=f（x）-g（x）=x²+2bx-|x-1|
故需滿足h（x）在[0，2]上是增函數(shù)即可，
①0≤x＜1時，h（x）=x²+（2b+1）x-1，
對稱軸x=-$\frac{2b+1}{2}≤$ 0，解得：b≥-$\frac{1}{2}$．
②1≤x≤2時，h（x）=x²+（2b-1）x+1，
對稱軸x=-$\frac{2b-1}{2}$≤1，解得：b≥-$\frac{1}{2}$．
綜上：b≥-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察轉(zhuǎn)化思想，屬中等題．