Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－x＋a.

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

當(dāng)m＝2時(shí)，若函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1)(2)

【解析】

試題分析：(1) 可將問題轉(zhuǎn)化為 時(shí)， 恒成立問題。令，先求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)大于0得原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0得原函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求最小值。只需 即可。(2)可將問題轉(zhuǎn)化為方程,在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，令。同(1)一樣用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性然后再求其極值和端點(diǎn)處函數(shù)值。比較極值和端點(diǎn)處函數(shù)值得大小，畫函數(shù)草圖由數(shù)形結(jié)合分析可知直線應(yīng)與函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)。從而可列出關(guān)于的方程。

試題解析：

【解析】
(1)由，可得 1分

，即，記，

則在上恒成立等價(jià)于. 3分

求得

當(dāng)時(shí), ;

當(dāng)時(shí), .

故在處取得極小值，也是最小值，即，故.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為 5分

(2)函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

等價(jià)于方程,在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根． 6分

令，則.

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

∴在上是單調(diào)遞減函數(shù)，在上是單調(diào)遞增 8分

函數(shù)．故，

又，，

∵，∴只需，

故a的取值范圍是． 10分

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2用單調(diào)性求最值；3數(shù)形結(jié)合思想。