【題目】已知函數f(x)=ex﹣lnx+ax(a∈R).
(1)當a=﹣e+1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)當a≥﹣1時,求證:f(x)>0.
【答案】(1)當x∈(0,1)時,f(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f(x)單調遞增(2)證明見解析
【解析】
(1)求導得到,根據導數的正負得到函數的單調區(qū)間.
(2)求導得到判斷h(x)在(0,+∞)上單調遞增,,使函數f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,代入計算得到證明.
(1)f(x)=ex﹣lnx+(﹣e+1)x;令,得x=1;
當x∈(0,1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;
(2)證明:當a=﹣1時,f(x)=ex﹣lnx﹣x(x>0);
令,則;
∴h(x)在(0,+∞)上單調遞增;
又,h(1)=e﹣2>0;
∴,使得,即;
∴函數f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增;
∴函數f(x)的最小值為;
又函數是單調減函數;
∴f(x0)>1+1﹣ln1﹣1=1>0,即ex﹣lnx﹣x>0恒成立;
又ex>x>lnx;∴ex﹣lnx>0;又a≥﹣1,x>0;∴ax≥﹣x;
∴f(x)=ex﹣lnx+ax≥ex﹣lnx﹣x>0,得證.
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【題目】四邊形中,,且,為中點,連接,如圖(1),將其沿折起使得平面平面,平面平面,連接,如圖(2).
(1)證明:圖(2)中的四點共面;
(2)求圖(2)中平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】已知定義在R上的函數f(x)=|x﹣m|+|x|,m∈N*,存在實數x使f(x)<2成立.
(1)求實數m的值;
(2)若α≥1,β≥1,f(α)+f(β)=4,求證:≥3.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面ABCD,,,,點E在BC上,.
(1)求證:平面平面PAC;
(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為,求二面角的余弦值.
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【題目】已知在平面直角坐標系中,圓的參數方程為(為參數).以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系.
(1)求圓的普通方程及其極坐標方程;
(2)設直線的極坐標方程為,射線與圓的交點為(異于極點),與直線的交點為,求線段的長.
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左.右頂點分別為A,B,離心率為,點P為橢圓上一點.
(1) 求橢圓C的標準方程;
(2) 如圖,過點C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點,記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線l斜率的值.
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【題目】已知橢圓C的方程為,為橢圓C的左右焦點,離心率為,短軸長為2。
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C的內接平行四邊形ABCD的一組對邊分別過橢圓的焦點,求該平行四邊形ABCD面積的最大值.
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【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權利,培養(yǎng)全民閱讀習慣,提高全民閱讀能力,推動文明城市和文化強市建設.某高校為了解條例發(fā)布以來全校學生的閱讀情況,隨機調查了200名學生每周閱讀時間(單位:小時)并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數和中位數(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學生閱讀時間的因素,學校團委決定從每周閱讀時間為,的學生中抽取9名參加座談會.
(i)你認為9個名額應該怎么分配?并說明理由;
(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學生中理工類專業(yè)的較多.請根據200名學生的調研數據,填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為學生閱讀時間不足(每周閱讀時間不足8.5小時)與“是否理工類專業(yè)”有關?
閱讀時間不足8.5小時 | 閱讀時間超過8.5小時 | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附:().
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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