Question

已知橢圓E的方程是（a＞b＞0），其左頂點為（-2，0），離心率e=．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知傾斜角為45°且過右焦點的直線l交橢圓E于A、B兩點，若橢圓上存在一點P，使=λ（+），試求λ的值．

Answer 1

解：（1）由已知得a=2，e==，∴c=1，b==，
∴橢圓E的方程為=1．
（2）由（1）得右焦點F（1，0），因此直線l的方程為y=x-1．
代入橢圓方程并整理得7x²-8x-8=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，
∴y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=（x₁+x₂）-2=-．
∴=λ（+）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（，-），
∴P點坐標為（，-），
代入橢圓方程，可得=1，
∴，解得λ=．
分析：（1）利用橢圓左頂點為（-2，0），離心率e=，結合b=，求出幾何量，即可求橢圓E的方程；
（2）確定直線l的方程，代入橢圓方程并整理，利用韋達定理，結合=λ（+），求出P的坐標，代入橢圓方程，即可求λ的值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．