已知橢圓E的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左頂點為（-2，0），離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知傾斜角為45°且過右焦點的直線l交橢圓E于A、B兩點，若橢圓上存在一點P，使
OP
=λ（
OA
+
OB
），試求λ的值．
（1）由已知得a=2，e=
c
a
=
1
2
，∴c=1，b=
a2-c2
=
3
，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由（1）得右焦點F（1，0），因此直線l的方程為y=x-1．
代入橢圓方程并整理得7x2-8x-8=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8
7
，
∴y1+y2=（x1-1）+（x2-1）=（x1+x2）-2=-
6
7
．
∴
OP
=λ（
OA
+
OB
）=λ（x1+x2，y1+y2）=λ（
8
7
，-
6
7
），
∴P點坐標為（
8λ
7
，-
6λ
7
），
代入橢圓方程，可得
(
8λ
7
)2
4
+
(-
6λ
7
)2
3
=1，
∴λ2=
7
4
，解得λ=±
7
2
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓E的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點坐標為（1，0），點P（1，
3
2
）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點A的）兩點M，N．
問：直線MN是否一定經(jīng)過x軸上一定點？若是，求出定點坐標，不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•深圳一模）已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心是坐標原點，焦點在坐標軸上，且橢圓過點A（-2，0），B（2，0），C（1，
32
）三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A，B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x+4），（k≠0）與橢圓E交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為P，試問直線PN能否過定點F（-1，0），若是，請證明；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年安徽省宿州市高三上學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點O，其右焦點為F(2，0)，過x軸上一點A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點,且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè),過點P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點M,試問M,F,Q是否共線，若共線請證明；反之說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓E的方程為：+=1（a＞b＞0）的右焦點坐標為（1，0），點P（1，）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點A的）兩點M，N．
問：直線MN是否一定經(jīng)過x軸上一定點？若是，求出定點坐標，不是，說明理由．

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