【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P在圓 上,過(guò)P作y軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)M在射線NP上,滿足.
(1)求點(diǎn)M的軌跡G的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交軌跡G 于A,B兩點(diǎn),交圓O于C,D兩點(diǎn).若,求直線l的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)Q(3, t)(t∈R,t ≠ 0),且,過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線m與OQ交于點(diǎn)E,與x軸交于點(diǎn)F,求△OEF周長(zhǎng)最大時(shí)的直線m的方程.
【答案】(1);(2),,;(3)或
【解析】
(1)設(shè),,利用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移可得軌跡的方程.
(2)直線的斜率不存在時(shí)滿足,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè),分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程和圓的方程,利用結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算后可得直線方程.
(3)設(shè),由及點(diǎn)在圓上可以得到,從而,因此為直角三角形,故當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)周長(zhǎng)最大,此時(shí),故可求得直線的方程.
(1)設(shè),,,由得,即.
∵在圓上,∴,∴為軌跡的方程.
(2)①直線的斜率不存在時(shí),直線,由橢圓,圓的對(duì)稱(chēng)性,有, ∴合題意.
②直線的斜率存在時(shí),
設(shè)直線,,
由,∴即.
由得,∴,
由得,
∴,由,∴,
∴或,∴直線,.
綜上,直線的方程為:,,.
(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn),由得.
又∵,∴, ①
直線與垂直,直線的斜率為,
直線的方程為,∴ ② ,
由①②得:,∴直線與軸交點(diǎn)為.
又∵,∴是以2為斜邊的直角三角形, ∴時(shí),周長(zhǎng)最大,即是等腰直角三角形,,點(diǎn)坐標(biāo)為或,
∴直線的方程是或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工藝廠有銅絲5萬(wàn)米,鐵絲9萬(wàn)米,準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售,已知一只花籃需要用銅絲200米,鐵絲300米;編制一只花盆需要100米,鐵絲300米,設(shè)該廠用所有原來(lái)編制個(gè)花籃, 個(gè)花盆.
(Ⅰ)列出滿足的關(guān)系式,并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)若出售一個(gè)花籃可獲利300元,出售一個(gè)花盤(pán)可獲利200元,那么怎樣安排花籃與花盆的編制個(gè)數(shù),可使得所得利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱(chēng)遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位,遞減的比例為40%,今共有糧m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為( )
A.20% 369
B.80% 369
C.40% 360
D.60% 365
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn),A,B,M為數(shù)軸上三點(diǎn),C為線段OM上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)x表示點(diǎn)C與原點(diǎn)的距離,y表示點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離的4倍與點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的6倍之和.
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)要使y的值不超過(guò)70,實(shí)數(shù)x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓E: (a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2 , 其離心率e= ,且點(diǎn)F2到直線 =1的距離為 .
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0 , y0)是橢圓E上的一點(diǎn)(x0≥1),過(guò)點(diǎn)P作圓(x+1)2+y2=1的兩條切線,切線與y軸交于A、B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線和橢圓有公共的焦點(diǎn),且離心率為.
(Ⅰ)求雙曲線的方程.
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于, 兩點(diǎn),且為的中點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線方程為,求和的值;
(Ⅱ)討論方程的解的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首項(xiàng)=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Mn,求證: Mn .
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