【題目】已知函數(shù)f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R)
(1)當(dāng)a= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)g(x)=(x2﹣2x)ex , 如果對任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f′(x)=ax﹣(2a+1)+

所以a= 時,f′(x)=

其單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(


(2)解:若要命題成立,只需當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)max<g(x)max

由g′(x)=(x2﹣2)ex可知,當(dāng)x∈(0,2]時,g(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞減,在區(qū)間( ,2]上單調(diào)遞增,

g(0)=g(2)=0,故g(x)max=0,

所以只需f(x)max<0.

對函數(shù)f(x)來說,f′(x)=ax﹣(2a+1)+ =

當(dāng)a≤0時,由x∈(0,2],f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞增,

f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,故ln2﹣1<a≤0

當(dāng)0<a≤2時, ,由x∈(0,2),ax﹣1≥0,故f′(x)≥0,

函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增,

f(x)max=f(2)=2ln2﹣2a﹣2<0,a>ln2﹣1

故0<a≤2滿足題意

當(dāng)a> 時, ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, )上單調(diào)遞增,在區(qū)間( 上單調(diào)遞減,

f(x)max=f( =﹣2lna﹣ ﹣2.

若a≥1時,顯然小于0,滿足題意;

時,可令h(a)=﹣2lna﹣ ﹣2, ,

可知該函數(shù)在 時單調(diào)遞減,

,滿足題意,所以a> 滿足題意.

綜上所述:實數(shù)a的取值范圍是(ln2﹣1,+∞)


【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)直接求單調(diào)區(qū)間;(2)若要命題成立,只需當(dāng)x∈(0,2]時,f(x)max<g(x)max . 分別求出最大值即可.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知命題p:方程x2﹣2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根;命題q:函數(shù)y=(m+2)x﹣1是R上的單調(diào)增函數(shù).若“p或q”是真命題,“p且q”是假命題,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線l1的方程為3x+4y﹣12=0.
(1)若直線l2與l1平行,且過點(﹣1,3),求直線l2的方程;
(2)若直線l2與l1垂直,且l2與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4,求直線l2的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C的所對的邊分別為a,b,c,且a2+b2=ab+c2
(Ⅰ) 求tan(C﹣ )的值;
(Ⅱ) 若c= ,求SABC的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為K(K為正整數(shù)).
(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時間;
(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工,試確定正整數(shù)K的值,使完成訂單任務(wù)的時間最短,并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列選項中,表示同一集合的是(
A.A={0,1},B={(0,1)}
B.A={2,3},B={3,2}
C.A={x|﹣1<x≤1,x∈N},B={1}
D.
E.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在幾何體ABCDE中,BE⊥平面ABC,CD∥BE,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,且BE=AB=4,CD=2,點F在線段AC上,且AF=3FC

(1)求異面直線DF與AE所成角;
(2)求平面ABC與平面ADE所成二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,曲線BCD為拋物線的一部分.
(Ⅰ)求f(x)解析式;
(Ⅱ)若f(x)=1,求x的值;
(Ⅲ)若f(x)>f(2﹣x),求x的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐O﹣ABCD中,BC⊥平面OAB,E為OB中點,OA=AD=2AB=2,OB=

(1)求證:平面OAD⊥平面ABCD;
(2)求二面角B﹣AC﹣E的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案