【題目】已知橢圓的離心率e= , 原點(diǎn)到過A(a,0),B(0,﹣b)兩點(diǎn)的直線的距離是
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線y=kx+1(k≠0)交橢圓于不同的兩點(diǎn)E,F(xiàn),且E,F(xiàn)都在以B為圓心的圓上,求k的取值范圍.

【答案】解:(1)直線AB的方程為:bx﹣ay﹣ab=0
∵原點(diǎn)到過A(a,0),B(0,﹣b)兩點(diǎn)的直線的距離是
=

∵橢圓的離心率e=,

∴a2=4b2
②代入①,可得b2=4,
∴a2=16
∴橢圓的方程為
(2)由題意,B(0,﹣2)
設(shè)E(x1 , y1),F(xiàn)(x2 , y2),由E,F(xiàn)在圓上,得x12+(y1+2)2=x22+(y2+2)2…③,
由E,F(xiàn)在直線y=kx+1得y1=kx1+1,y2=kx2+1,
代入③式,可得(1+k2)(x1+x2)(x1﹣x2)+6k(x1﹣x2)=0,
因?yàn)镋,F(xiàn)為直線上不同兩點(diǎn),所以x1≠x2 , 所以(1+k2)(x1+x2)+6k=0,
即x1+x2=-
又由E,F(xiàn)在橢圓上,將y=kx+1代入,得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系,x1+x2=-…⑤,
將④⑤兩式聯(lián)立求解得k=0(舍)或k=±,
故k═±
【解析】(1)直線AB的方程為:bx﹣ay﹣ab=0,利用原點(diǎn)到過A(a,0),B(0,﹣b)兩點(diǎn)的直線的距離是 , 可得= , 利用橢圓的離心率e= , 可得 , 從而可求b2=4,
a2=16,故可求橢圓的方程;
(2)由題意,B(0,﹣2),設(shè)E(x1 , y1),F(xiàn)(x2 , y2),由E,F(xiàn)在圓上,得x12+(y1+2)2=x22+(y2+2)2 , 由E,F(xiàn)在直線y=kx+1得y1=kx1+1,y2=kx2+1,代入可得(1+k2)(x1+x2)(x1﹣x2)+6k(x1﹣x2)=0,從而可得x1+x2=-;將y=kx+1代入 , 得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=- , 從而可求得k的值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 ,(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ= sinθ+cosθ,曲線C3的極坐標(biāo)方程是θ= . (Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程;
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