Question

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22
（1）求通項a_n
（2）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列且b_n=

Sn

n+c

，求非零常數(shù)c；
（3）求f（n）=

bn

(n+36)•bn+1

(n∈N+)的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．可得

a3•a4=117 a3+a4=22

，解得

a3=9 a4=13

，即可得出．
（2）由（1）可得Sn=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1），b_n=

n(2n-1)

n+c

，利用2b₂=b₁+b₃，即可解出c．
（3）由（2）可得：b_n=2n，f（n）=

bn

(n+36)bn+1

=

1

n+ 36 n +37

，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
∵a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
∴

a3•a4=117 a3+a4=22

，
解得

a3=9 a4=13

，
∴d=a₄-a₃=4，
∴a_n=a₃+4（n-3）=9+4（n-3）=4n-3．
即a_n=4n-3．
（2）由（1）可得Sn=

n(1+4n-3)

2

=n（2n-1），
∴b_n=

n(2n-1)

n+c

，
∴b₁=

1

1+c

，b2=

6

2+c

，b3=

15

3+c

，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴2b₂=b₁+b₃，
∴

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，
化為2c²+c=0，
∵c≠0，
∴c=-

1

2

．
（3）由（2）可得：b_n=

n(2n-1)

n- 1 2

=2n，
f（n）=

bn

(n+36)bn+1

=

2n

2(n+1)(n+36)

=

1

n+ 36 n +37

≤

1

2 n• 36 n +37

=

1

49

，當且僅當n=6時取等號．
∴f（n）的最大值為

1

49

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．