已知函數(shù)f(x)=ax2-4x+2,函數(shù)g(x)=(
1
3
f(x)
(1)若f(2+π+x)=f(2-π-x),求f(x)的解析式;
(2)若g(x)有最大值3,求a的值,并求出g(x)的值域;
(3)已知a≤1,若函數(shù)y=f(x)-log2
x
8
在區(qū)間[1,2]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)f(2+π+x)=f(2-π-x),f(x)的對(duì)稱軸x=2,求解即可.
(2)函數(shù)f(x)=ax2-4x+2的最小值為-1,根據(jù)復(fù)合函數(shù)得出
a>0
4a×2-42
4a
=-1
求解即可.
(3)令r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x,則可以轉(zhuǎn)化為;函數(shù)r(x)與函數(shù)s(x)的圖象在區(qū)間[1,2]上有唯一的交點(diǎn),分類討論得出相應(yīng)的不等式組即可.
解答: 解;(1)∵f(2+π+x)=f(2-π-x),
∴f(x)的對(duì)稱軸x=2,
2
a
=2,a=1.
∴f(x)=x2-4x+2,
(2)∵函數(shù)g(x)=(
1
3
f(x),
g(x)有最大值3,
∴函數(shù)f(x)=ax2-4x+2的最小值為-1,
a>0
4a×2-42
4a
=-1

解得:a=
4
3

∴f(x)=
4
3
x2-4x+2=
4
3
(x-
3
2
2-1≥-1,
∵函數(shù)g(x)=(
1
3
f(x),
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)求解:g(x)的值域(0,3]
(3)∵a≤1,若函數(shù)y=f(x)-log2
x
8
=ax2-4x+5-log2x
令r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x,
則可以轉(zhuǎn)化為;函數(shù)r(x)與函數(shù)s(x)的圖象在區(qū)間[1,2]上有唯一的交點(diǎn),
①當(dāng)a=0時(shí),r(x)=-4x+5,s(x)=log2x,根據(jù) 單調(diào)性可判斷.
r(1)=1>s(1)=0
r(2)=-3<s(2)=1

∴函數(shù)r(x)與函數(shù)s(x)的圖象在區(qū)間[1,2]上有唯一的交點(diǎn),
②當(dāng)a≤1,時(shí),拋物線r(x)的開口向下,對(duì)稱軸x=
2
a
<0<1,
∴r(x)=ax2-4x+5在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞減,
∵s(x)=log2x在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞增,
∴必需
r(1)≥s(1)
r(2)≤s(2)

a+1≥0
4a-3≤1
得出:-1≤a≤1,由a≤0,
可知;-1≤a<0,
③當(dāng)0<a≤1時(shí),拋物線r(x)的開口向上,對(duì)稱軸x=
2
a
≥2,
∴r(x)=ax2-4x+5在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞減,
s(x)=log2x在區(qū)間[1,2]單調(diào)遞增,
∴必需
r(1)≥s(1)
r(2)≤s(2)

a+1≥0
4a-3≤1
得出:-1≤a≤1,由根據(jù)0<a≤1,
∴0<a≤1
綜上所述:實(shí)數(shù)a的取值范圍-1≤a≤1,
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用判斷函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,轉(zhuǎn)為不等式求解,關(guān)鍵是分類討論得出等價(jià)的不等式組,屬于中檔題.
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A、π
B、2π
C、
3
D、
10π
3

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A、(0,
1
2
B、(0,
1
2
]
C、(
1
2
,1)
D、(
1
2
,1]

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曲線y=cosx,x=
π
2
,x=
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,y=0.

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A、-2B、2C、-5D、5

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