【題目】已知函數(shù)f(x)=(a﹣1)(ax﹣a﹣x)(0<a<1).
(1)判斷f(x的奇偶性;
(2)用定義證明f(x)為R上的增函數(shù).
【答案】
(1)解:由函數(shù)f(x)=(a﹣1)(ax﹣a﹣x),
對任意x∈R,都有f(﹣x)=(a﹣1)(a﹣x﹣ax)=﹣f(x),
所以f(x)為定義域R上的奇函數(shù);
(2)證明:設x1、x2∈R且x1<x2,則
f(x1)﹣f(x2)=(a﹣1)( ﹣ )﹣(a﹣1)( ﹣ )
=(a﹣1)[( ﹣ )﹣( ﹣ )]
=(a﹣1)[( ﹣ )﹣ ]
=(a﹣1)( ﹣ )(1+ ),
由于0<a<1, ﹣ >0,1+ >0,
于是f(x1)<f(x2),所以f(x)為R上的增函數(shù)
【解析】(1)利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f(x)為定義域上的奇函數(shù);(2)利用單調性的定義即可證明f(x)為定義域上的增函數(shù).
【考點精析】利用函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知單調性的判定法:①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較;偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x,y均有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,則當x∈(0, ),不等式f(x)+2<logax恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四種說法正確的是( )
①函數(shù)f(x)的定義域是R,則“x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函數(shù)f(x)為增函數(shù)”的充要條件
②命題“x∈R,( )x>0”的否定是“x∈R,( )x≤0”
③命題“若x=2,則x2﹣3x+2=0”的逆否命題是“若x2﹣3x+2≠0,則x≠2”
④p:在△ABC中,若cos2A=cos2B,則A=B;q:y=sinx在第一象限是增函數(shù).則p∧q為真命題.
A.①②③④
B.①③
C.①③④
D.③
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【題目】設函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在閉區(qū)間[a,b]D,使得函數(shù)f(x)滿足:
①f(x)在[a,b]上是單調函數(shù);
②f(x)在[a,b]上的值域是[2a,2b],則稱區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的“和諧區(qū)間”.
下列結論錯誤的是( )
A.函數(shù)f(x)=x2(x≥0)存在“和諧區(qū)間”
B.函數(shù)f(x)=2x(x∈R)存在“和諧區(qū)間”
C.函數(shù)f(x)= (x>0)不存在“和諧區(qū)間”
D.函數(shù)f(x)=log2x(x>0)存在“和諧區(qū)間”
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【題目】若f(x)=x2﹣x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a>0且a≠1),
(1)求a,b;
(2)求f(log2x)的最小值及相應 x的值;
(3)若f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1),求x的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點, 軸的正半軸為極軸建立坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程和曲線的普通方程;
(2)射線與曲線的交點為,與曲線的交點為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,則該圓的標準方程是( )
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-3)2+(y-2)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
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