【題目】設(shè)數(shù)列，對(duì)任意都有，（其中k、b、p是常數(shù)）．

（1）當(dāng)，，時(shí)，求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．當(dāng)，，時(shí)，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）當(dāng)，，時(shí)，，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用是“封閉數(shù)列”，得是偶數(shù)，從而可得，再利用，驗(yàn)證，可求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值．

（1）當(dāng)，，時(shí)，，①

用去代n得，，②

②①得，，，

在①中令得，，則，∴，

∴數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

∴．

（2）當(dāng)，，時(shí)，，③

用去代n得，，④

④③得，，⑤

用去代n得，，⑥

⑥⑤得，，即，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．

∵，，∴公差，∴．

（3）由（2）知數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴．

又是“封閉數(shù)列”，得：對(duì)任意m，，必存在使，

得，故是偶數(shù)，

又由已知，，故．

一方面，當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，都有．

另一方面，當(dāng)時(shí)，，，則，

取，則，不合題意．

當(dāng)時(shí)，，，則，

當(dāng)時(shí)，，，，

又，

∴或或或．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若，求曲線在處的切線方程;

（2）設(shè)函數(shù)若至少存在一個(gè),使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若是的極值點(diǎn)，且曲線在兩點(diǎn)， 處的切線互相平行，這兩條切線在y軸上的截距分別為、，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別是線段與上的點(diǎn)，則與平面平行的直線有（ ）

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差大于零.若線段，，，的長(zhǎng)分別為，，，，則（ ）.

A.對(duì)任意的，均存在以，，為三邊的三角形

B.對(duì)任意的，均不存在以，，為三邊的三角形

C.對(duì)任意的，均存在以，，為三邊的三角形

D.對(duì)任意的，均不存在以，，為三邊的三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足.

（1）若點(diǎn)，求直線的方程；

（2）若直線l過點(diǎn)且不與x軸重合，過點(diǎn)M作垂直于l的直線與y軸交于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，且），且數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）若，當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值；

（3）若，問是否存在實(shí)數(shù)，使得是遞增數(shù)列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】現(xiàn)有六名百米運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)猜測(cè)誰跑了第一名.甲猜不是就是;乙猜不是;丙猜不是中任一個(gè)；丁猜是中之一，若四名同學(xué)中只有一名同學(xué)猜對(duì)，則猜對(duì)的是（ ）

A.甲B.乙C.丙D.丁

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