已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為
3
2
，P為橢圓C上的任一點，△PF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點D（0，
6
2
）的直線l與橢圓C交于P、Q兩點，若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列（O為坐標原點），求直線l的方程．
分析：（1）利用橢圓的定義及其離心率計算公式、b2=a2-c2即可得出．
（2）設直線l的方程為：y=kx+
6
2
．與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關系、再利用斜率計算公式及其等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（1）由題意可得
c
a
=
3
2
2a+2c=4+2
3
，解得
a=2
c=
3
，∴b2=a2-c2=1．
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．
（2）由題意可知：直線l的斜率存在且不為0，又過點D(0，
6
2
)，故可設直線l的方程為：y=kx+
6
2
．
聯(lián)立
y=kx+
6
2
x2+4y2=4
 消去y得：(1+4k2)x2+4
6
kx+2=0
由△=(4
6
k)2-8(1+4k2)＞0，得：k2＞
1
8
．
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=
-4
6
k
1+4k2
，x1x2=
-2
1+4k2
．
y1y2=(kx1+
6
2
)(kx2+
6
2
)=k2x1x2+
6
2
k(x1+x2)+
3
2
，
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，∴
y1
x1
•
y2
x2
=k2，即y1y2=k2x1x2，
∴
6
2
k(x1+x2)+
3
2
=0，
∴
6
k
2
•
-4
6
k
1+4k2
+
3
2
=0，解得：k2=
1
4
，即k=±
1
2
．
∴直線l的方程為：y=±
1
2
x+
6
2
．
點評：熟練掌握橢圓的定義及其離心率計算公式、b2=a2-c2、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關系、斜率計算公式及其等比數(shù)列的性質(zhì)等是解題的關鍵．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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