Question

設函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間與極值點．

Answer 1

分析：（1）已知函數的解析式f（x）=x³-3ax+b，把點（2，f（2））代入，再根據f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，求出a，b的值；
（2）由題意先對函數y進行求導，解出極值點，然后再根據極值點的值討論函數的增減性及其增減區(qū)間；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

?

3(4-a)=0 8-6a+b=8

?

a=4 b=24.

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當a＜0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，此時函數f（x）沒有極值點．
當a＞0時，由f′(x)=0?x=±

a

，
當x∈(-∞，-

a

)時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x∈(-

a

，

a

)時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，
當x∈(

a

，+∞)時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
∴此時x=-

a

是f（x）的極大值點，x=

a

是f（x）的極小值點．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．