設函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x-1.求:
(Ⅰ)函數(shù)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.
分析:(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù),從而求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程即可;
(2)求導函數(shù),利用導數(shù)大于0,求函數(shù)的單調增區(qū)間,導數(shù)小于0,求函數(shù)的單調減區(qū)間.
解答:解:f′(x)=3x2-6x-9         …(2分)
(1)f′(1)=3×12-6×1-9=-12
∴切線方程為y+12=-12(x-1)即12x+y=0     …(6分)
(2)令f′(x)=3x2-6x-9>0⇒x>3或x<-1  …(8分)
令f′(x)=3x2-6x-9<0⇒-1<x<3…(10分)
∴函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,-1),(3,+∞),函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為(-1,3)…(12分)
點評:本題給出三次多項式函數(shù),利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程并用導函數(shù)討論了函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.著重考查了多項式函數(shù)的導數(shù)公式和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性等知識,屬于基礎題.
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(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調性.

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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(
12
,1)
內不單調,求實數(shù)a的取值范圍.

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