Question

【題目】已知橢圓C： (a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)P(0,1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.

(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）M.；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0， )或(0，－ ).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出，求解即可．
（2）講問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程＝|xM||xN|，求坐標(biāo)即可.

試題解析：

(1)由題意得解得a2＝2，故橢圓C的方程為＋y2＝1.

設(shè)M(xM,0)．因?yàn)?/span>m≠0，所以－1＜n＜1.直線PA的方程為y－1＝x.

所以xM＝，即M.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以B(m，－n)．

設(shè)N(xN,0)，則xN＝.“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得”，即yQ滿足＝|xM||xN|.

因?yàn)?/span>xM＝，xN＝， ＋n2＝1.

所以＝|xM||xN|＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.

故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0， )或(0，－ )．