Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是

【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，求解單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）分離變量，通過(guò)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用單調(diào)性求解函數(shù)的極值，推出結(jié)果即可．

（Ⅰ）由題可得：　　　

令，得，解得：　　　　

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）∵方程有且僅有一個(gè)實(shí)根

∴方程有且僅有一個(gè)非零實(shí)根，即方程有且僅有一個(gè)實(shí)根．

因此，函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

結(jié)合（Ⅰ）可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，.

∴函數(shù)的極大值是，極小值是．

又∵且時(shí)，．∴當(dāng)或或時(shí)，

函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

∴若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，

實(shí)數(shù)的取值范圍是.