曲線C上任一點到定點(0，)的距離等于它到定直線的距離.

(1)求曲線C的方程；

(2)經(jīng)過P(1,2)作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點，且⊥，設(shè)M是AB中點，問是否存在一定點和一定直線，使得M到這個定點的距離與它到定直線的距離相等.若存在，求出這個定點坐標(biāo)和這條定直線的方程.若不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）y=2x2；

（2）M軌跡是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離。所求的定點為，定直線方程為y=.

【解析】

試題分析：

思路分析：（1）曲線C上任一點到定點(0，)的距離等于它到定直線的距離.所以，由拋物線的定義，其方程為，而，所以，y=2x2；

（2）利用“參數(shù)法” 得到y(tǒng)=4x2+4x+，根據(jù)圖象的平移變換得到結(jié)論：定點為，定直線方程為y=.

解：（1）因為，利用拋物線的定義，確定得到y(tǒng)=2x2；

（2）設(shè)：y-2=k(x-1)(k≠0)  :y=2=

由得2x2-kx+k-2=0

同理得B點坐標(biāo)為

∴

消去k得：y=4x2+4x+ ………9分

M軌跡是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離。將拋物線方程化為，此拋物線可看成是由拋物線左移個單位，上移個單位得到的，而拋物線的焦點為(0，)，準(zhǔn)線為y=-.∴所求的定點為，定直線方程為y=.

考點：拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：難題，利用“直接法”可確定得到拋物線方程。利用“參數(shù)法”求得拋物線方程，通過研究焦點、準(zhǔn)線等，達到確定“存在性”的目的。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上任一點P到直線x=1與點F（-1，0）的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)直線y=x+b與曲線C交于點A，B，問在直線l：y=2上是否存在與b無關(guān)的定點M，使得直線MB與MA關(guān)于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
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，一曲線E過點C，且曲線E上任一點到A，B兩點的距離之和不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）設(shè)點Q是曲線E上的一動點，求線段QA中點的軌跡方程；
（3）設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點，直線CM和CN的傾斜角互補，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是，求這個定值；如果不是，請說明理由．
（4）若點D是曲線E上的任一定點（除曲線E與直線AB的交點），M，N是曲線E上不同的兩點，直線DM和DN的傾斜角互補，直線MN的斜率是否為定值呢？如果是，請你指出這個定值．（本小題不必寫出解答過程）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線C上任一點到定點（0，
1
8
）的距離等于它到定直線y=-
1
8
的距離．
（1）求曲線C的方程；
（2）經(jīng)過P（1，2）作兩條不與坐標(biāo)軸垂直的直線l1、l2分別交曲線C于A、B兩點，且l1⊥l2，設(shè)M是AB中點，問是否存在一定點和一定直線，使得M到這個定點的距離與它到定直線的距離相等．若存在，求出這個定點坐標(biāo)和這條定直線的方程．若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P為曲線C上任一點，若P到點F（
1
2
，0）的距離與P到直線x=-
1
2
距離相等
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點A、B，
（I）若|AB|=2
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，求直線l的方程；
（II）試問在x軸上是否存在定點E（a，0），使
EA
•
EB
恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

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