【題目】如圖,四棱錐的底面為平行四邊形,底面,,,.

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ)若E是側(cè)棱上的一點,且與底面所成的是為45°,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)由余弦定理得的長,利用勾股定理,證得,再由底面,得到,從而證得平面,進而得到平面平面.

(Ⅱ)以A為坐標原點,,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,設(shè),根據(jù)向量的夾角公式,求得,得到,進而求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.

(Ⅰ)在平行四邊形中,,,

由余弦定理得,

可得,所以,即,

底面,底面,所以,

所以平面,

平面,所以平面平面.

(Ⅱ)如圖所示,以A為坐標原點,,,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,

,,,

設(shè),

因為,,

又因為,所以,

又由平面的一個法向量為,

所以,

解得,即,

設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,

,,

因為,可得,取,得,

同理可得 ,

因為二面角為鈍角,所以二面角的余弦值為.

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