Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，點在橢圓上，為坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為橢圓上不同的兩點.①設(shè)線段的中點為點，證明:直線的斜率之積為定值；②若兩點滿足，當(dāng)的面積最大時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②

【解析】

（1）將離心率轉(zhuǎn)化為關(guān)系，點坐標(biāo)代入方程，即可求解；

（2）①設(shè)，，代入方程相減，即可證明結(jié)論；②結(jié)合①的結(jié)論，求出直線的斜率，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，求出，再求出到直線的距離，得到的面積目標(biāo)函數(shù)，求出最大值即可.

（1）依題意有，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，則，兩式相減得:，①

∵的中點為，∴，

∴.

（3）解法l:由，因為，

所以，，②

代入①式得直線的斜率為，

設(shè)直線的方程:，聯(lián)立方程組，

消得:，由，

解得，且，，③

由②③可得， ，

到:的距離為，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，滿足，

由②③可得，所以的值為.

解法2:設(shè)直線的方程:，

聯(lián)立方程組，消

得:，

，，

，

由，因為，

所以，，有，

所以，解得，下同解法1.