Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（-1，2），且與以A（-2，-3）、B（3，0）為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍是

（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）

．

Answer 1

分析：先由A、B、P的坐標(biāo)求得直線AP和BP的斜率，再根據(jù)直線l的傾斜角為銳角或鈍角加以討論，將直線l繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并觀察傾斜角的變化，由直線的斜率公式加以計(jì)算，分別得到直線l斜率的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：∵點(diǎn)P（-1，2）、A（-2，-3），
∴直線AP的斜率k₁=

-3-2

-2+1

=5．同理可得直線BP的斜率k₂=-

1

2

．
設(shè)直線l與線段AB交于M點(diǎn)，
當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，隨著M從A向B移動(dòng)的過(guò)程中，l的傾斜角變大，
l的斜率也變大，直到PM平行y軸時(shí)l的斜率不存在，此時(shí)l的斜率k≥5；
當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，隨著l的傾斜角變大，l的斜率從負(fù)無(wú)窮增大到
直線BP的斜率，此時(shí)l的斜率k≤-

1

2

．
綜上所述，可得直線l的斜率取值范圍為：（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）．
故答案為：（-∞，-

1

2

]∪[5，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，求l的斜率取值范圍．著重考查了直線的斜率與傾斜角及其應(yīng)用的知識(shí)，屬于中檔題．