Question

【題目】如圖，在四棱錐A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE與平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取DB中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG．

∵F是AD的中點(diǎn)，∴FG∥AB．

∵BD=2CE，∴BG=CE．

∵∠DBC=∠BCE

∴E、G到直線(xiàn)BC的距離相等，則BG∥CB，

∵EG∩FG=G

∴面EGF∥平面ABC，則EF∥平面ABC．

（2）解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)EC=1，則DB=2，取BC中點(diǎn)C，則EG∥BC，∴BC=3，

∵AD=DE，則A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．

， ．

設(shè)平面ACE的法向量 ，

= x+ y=0

令y=1，則 ，|cos |= ．

∴BE與平面ACE所成角的正弦值為：

【解析】（1）取DB中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG．證面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則A（0，0， ），E（0， ，0），B（2，0，0），C（ ， ，0）．求出平面ACE的法向量即可
【考點(diǎn)精析】掌握直線(xiàn)與平面平行的判定和空間角的異面直線(xiàn)所成的角是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；已知為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．