Question

某地區(qū)共有100戶農(nóng)民從事蔬菜種植，據(jù)調查，每戶年均收入為3萬元．為了調整產(chǎn)業(yè)結構，當?shù)卣�府決定動員部分種植戶從事蔬菜加工．據(jù)估計，如果能動員x（x＞0）戶農(nóng)民從事蔬菜加工，那么剩下從事蔬菜種植的農(nóng)民每戶年均收入有望提高2x%，從事蔬菜加工的農(nóng)民每戶年均收入為3(a-

3x

50

)（a＞0）萬元．
（1）在動員x戶農(nóng)民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入，試求x的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農(nóng)民中從事蔬菜加工農(nóng)民的年總收入始終不高于從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入，試求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“從事蔬菜種植的農(nóng)民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個不等關系，列不等式
得x的取值范圍；
（2）問題先轉化成一個不等關系，然后轉化為恒成立問題解決．

解答：解：（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因為x＞0，所以0＜x≤50；（6分）
（2）從事蔬菜加工的農(nóng)民的年總收入為3(a-

3x

50

)x萬元，從事蔬菜種植農(nóng)民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據(jù)題意得，3(a-

3x

50

)x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
即ax≤100+x+

x2

25

恒成立．
又x＞0，所以a≤

100

x

+

x

25

+1恒成立，
而

100

x

+

x

25

+1≥5（當且僅當x=50時取得等號），
所以a的最大值為5．（16分）

點評：本題主要考查函數(shù)在實際生活中的應用、恒成立問題的解法．求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點，它可以綜合地考查中學數(shù)學思想與方法，體現(xiàn)知識的交匯．