Question

【題目】如圖，在四棱錐A-EFCB中，為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，，
，，，O為EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ）若BE平面AOC，求a的值．

Answer 1

【答案】(I)證明見解析；（II）；（III）．
【解析】
(I)由于平面AEF平面EFCB,為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，則,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以AO平面EFCB,又平面EFCB,則.
（II） 取CB的中點(diǎn)D，鏈接OD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E,OD,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A,E,B,,,由于平面AEF與Y軸垂直，則設(shè)平面AEF的法向量為,設(shè)平面AEB的法向量,,,,,y=-1,則,二面角F-AE-B的余弦值cos(,)==,由二面角F-AE-B為鈍二面角，所以二面角F-AE-B的余弦值為.
（Ⅲ）由（I）知平面EFCB，則，若平面，只需，，又，，解得或，由于，則.
【考點(diǎn)精析】利用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即．